カジノ必勝法としてマーチンゲール法を見ることがありますが、実際に利益が出るのでしょうか？
マーチンゲール法を利用したときの期待値を計算しました。

今回は最初のベット額を1ドル、1度にベットできる最大金額を10,000ドルとして期待値を考えます。
仮にマーチンゲール法を使って負け続けた場合、ベット額はこのように増えていきます。

15回目で1度にベットできる最大金額の10,000ドルを超えるので、最大で14回マーチンゲール法を使えます。

勝率2分の1、配当2倍のときの期待値

勝率が2分の1の勝負でマーチンゲール法を使い負けるとき、負ける確率は14回連続で負けることになるので
1/2の14乗 ＝ 1/16384

負けるときの損失は1回目から14回目のベット額を全て足して
-1-2-4-8-16-32-64-128-256-512-1024-2048-4096-8192 ＝ -16383ドル

負けるときの期待値は
負けるときの損失 × 負ける確率 ＝ -16383 × 1/16384 ＝ -16383/16384

勝つ確率は全ての確率から負ける確率を引いて
1 - 1/16384 ＝ 16383/16384

勝つときの利益はマーチンゲール法では常に最初のベット額になるので
1ドル

勝つときの期待値は
勝つときの利益 × 勝つ確率 ＝ 1 × 16383/16384 ＝ 16383/16384

つまり、勝率2分の1、配当2倍の勝負をするとき、マーチンゲール法の期待値は

期待値 ＝ 勝つときの期待値 + 負けるときの期待値
　　　 ＝ 16383/16384 + -16383/16384
　　　 ＝ 0

これを%にすると
( 期待値 + ベット額 ) / ベット額 × 100 = ( 0 + 1 ) / 1 × 100 = 100%
ということで期待値は100%です。

ちなみに、投資法を使わずに普通に賭けるときの期待値は
1/2 × 1 + 1/2 × -1 ＝ 0
なので、マーチンゲール法を利用してもしなくても期待値は変わりません。

ルーレットでマーチンゲール法を使うときの期待値

ルーレットでマーチンゲール法を使うとどうでしょうか？

ルーレットでREDやBLACKなどの配当2倍エリアにベットしたとき、ルーレットにはREDが18個、BLACKが18個、GREEN（0）が1個あるので19/37がハズレです。

負ける確率はハズレが14回続くので 19/37の14乗

負けるときの損失は変わらず
-1-2-4-8-16-32-64-128-256-512-1024-2048-4096-8192 ＝ -16383ドル

負けるときの期待値は
負けるときの損失 × 負ける確率 ＝ -16383 × 19/37の14乗

勝つ確率は全ての確率から負ける確率を引いて1 - 19/37の14乗

勝つときの利益は最初のベット額になるので1ドル

勝つときの期待値は
勝つときの利益 × 勝つ確率 ＝ 1 × ( 1 - 19/37の14乗 ) ＝ 1 - 19/37の14乗

ルーレットに1ドル賭けるとき、マーチンゲール法の期待値は

期待値 ＝ 勝つときの期待値 ＋ 負けるときの期待値
　　　 ＝ 1 - 19/37の14乗 + -16383 × 19/37の14乗
　　　 ＝ 1 - 19/37の14乗（ 1 + 16383 ）
　　　 ＝ 1 - 19/37の14乗 × 2の14乗
　　　 ＝ 1 - 38/37の14乗
　　　 ＝ 1 - 1.45260058825
　　　 ＝ -0.45260058825

ということでマーチンゲール法1セットあたりの期待値は約-0.45ドルになります。

これを%にすると
( 期待値 + ベット額 ) / ベット額 × 100 = ( -0.45 + 1 ) / 1 × 100 = 65%
ということでマーチンゲール1セットあたりの期待値は約65%です。

マーチンゲール法1セットの平均プレイ回数は
1 × 1/2 + 2 × 1/4 + 3 × 1/8 + 4 × 1/16 + 5 × 1/32 + 6 × 1/64 + 7 × 1/128 + 8 × 1/256 + 9 × 1/512 + 10 × 1/1024 + 11 × 1/2048 + 12 × 1/4096 + 13 × 1/8192 + 14 × 1/16384 = 1.9990234375

つまり、プレイ1回あたりの期待値は
-0.45260058825 ÷ 1.9990234375 = -0.22641084629
なので約-0.23ドルです。

これを%にすると
( 期待値 + ベット額 ) / ベット額 × 100 = ( -0.23 + 1 ) / 1 × 100 = 77%
ということで1プレイあたりの期待値は約77%です。

期待値が100%以上ではカジノの利益がないので当然です。

勝つ確率は99.99％

期待値はマイナスでしたが、マーチンゲールを使用したときの勝つ確率は
1 - 19/37の14乗 ＝ 0.99991134029
つまり、約99.99%の確率で勝利します。

マーチンゲール法を使うときは勝ち逃げが大切になります。
99.99%の勝率で勝ち続けて、損失が出る前に止めれば利益が出ます。
何回繰り返せば損失になるのか気になる方は、こちらのページでシミュレーションできます。
↓↓↓

» マーチンゲール法シミュレーション

今回は計算しませんでしたが、マーチンゲール法の他にもモンテカルロ法や2in1法などのカジノ投資法も同じような確率、期待値となります。

投資法を使う際にさらに勝つ確率を上げる方法は、基準となる1回目のベット額を低くし、負けても繰り返しベットするために資金を多く用意することです。

モンテカルロ法や2in1法などもこちらのページからシミュレーションできます。

» カジノ投資法シミュレーター